Phân tích nguyên lý STARKs của Binius và suy nghĩ về tối ưu hóa
1. Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các số trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 đã chỉ ra, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng bề rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ, hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
| Đại số | Độ rộng mã hóa | Triển khai điển hình |
|------|----------|----------|
| Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare |
| Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 |
| Thế hệ thứ 3 | 32bit | Plonky3 |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy ngược lại từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, trường nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, các ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F2^8
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2^128
QR mã, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F2^8
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F2^8, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn, để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt, và biểu thị cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau để đạt được điều này: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2. Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin Lý thuyết (: PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, cho phép người xác minh xác thực tính chính xác của tính toán chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PIOP PLONK, PIOP Spartan và PIOP HyperPlonk, mỗi cái đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Giải pháp cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu các phương trình đa thức được sinh ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi thông tin khác của đa thức. Một số giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
Halo2: được kết hợp từ PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, việc số hóa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh HyperPlonk sản phẩm và kiểm tra hoán vị trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa thức mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh mối quan hệ đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Cơ sở toán học dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cộng với khả năng tận dụng tối đa các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản nhất F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong số bit đã cho. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp rút gọn phổ biến bao gồm rút gọn Barrett, rút gọn Montgomery, và các phương pháp rút gọn đặc biệt dành cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp rút gọn thường dùng bao gồm rút gọn đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), rút gọn Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và rút gọn đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )^2 = X^2 + Y^2.
Như hình 1, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không đòi hỏi bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một kiểu chuyển đổi chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "Về sự đảo ngược hiệu quả trong các miền tháp có đặc trưng hai" khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân tích thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh xem chứng thực bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C(x,ω)=0 hay không, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến của đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên khối siêu hình Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính đúng đắn của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh xem một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là zero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm zero của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều phép đánh giá đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không bao giờ bằng 0 trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặt giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ các trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định rằng U không bằng không trên siêu hình khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là khi xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết các hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: đối số dịch đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những kỹ thuật then chốt, có khả năng tạo ra một cách hiệu quả.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
8 thích
Phần thưởng
8
5
Chia sẻ
Bình luận
0/400
AllInDaddy
· 07-27 20:46
À cái này Stark tối ưu tôi không đến được.
Xem bản gốcTrả lời0
GateUser-e51e87c7
· 07-26 04:42
Công nghệ làm người ta đau đầu, khi nào có hình minh họa?
Xem bản gốcTrả lời0
VirtualRichDream
· 07-25 03:17
Hiệu quả mới là vua.
Xem bản gốcTrả lời0
SatoshiChallenger
· 07-25 03:17
Dữ liệu lại tiếp tục lừa đảo để huy động vốn, 32bit vẫn lãng phí đúng không?
Xem bản gốcTrả lời0
airdrop_whisperer
· 07-25 03:13
32 bit vẫn lãng phí không gian? Nhỏ còn chưa đủ à...
Binius làm thế nào để tối ưu hóa hiệu suất STARKs bằng cách sử dụng lĩnh vực nhị phân phân tích 4 công nghệ cốt lõi
Phân tích nguyên lý STARKs của Binius và suy nghĩ về tối ưu hóa
1. Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các số trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 đã chỉ ra, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng bề rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ, hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
| Đại số | Độ rộng mã hóa | Triển khai điển hình | |------|----------|----------| | Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 | | Thế hệ thứ 3 | 32bit | Plonky3 | | Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy ngược lại từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, trường nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, các ví dụ điển hình bao gồm:
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn, để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt, và biểu thị cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau để đạt được điều này: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2. Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin Lý thuyết (: PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, cho phép người xác minh xác thực tính chính xác của tính toán chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PIOP PLONK, PIOP Spartan và PIOP HyperPlonk, mỗi cái đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Giải pháp cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu các phương trình đa thức được sinh ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi thông tin khác của đa thức. Một số giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
Halo2: được kết hợp từ PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, việc số hóa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh HyperPlonk sản phẩm và kiểm tra hoán vị trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa thức mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh mối quan hệ đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Cơ sở toán học dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cộng với khả năng tận dụng tối đa các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản nhất F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong số bit đã cho. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp rút gọn phổ biến bao gồm rút gọn Barrett, rút gọn Montgomery, và các phương pháp rút gọn đặc biệt dành cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp rút gọn thường dùng bao gồm rút gọn đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), rút gọn Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và rút gọn đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )^2 = X^2 + Y^2.
Như hình 1, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không đòi hỏi bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một kiểu chuyển đổi chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "Về sự đảo ngược hiệu quả trong các miền tháp có đặc trưng hai" khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân tích thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh xem chứng thực bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C(x,ω)=0 hay không, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến của đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên khối siêu hình Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính đúng đắn của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh xem một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là zero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm zero của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều phép đánh giá đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không bao giờ bằng 0 trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặt giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ các trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định rằng U không bằng không trên siêu hình khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là khi xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết các hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: đối số dịch đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những kỹ thuật then chốt, có khả năng tạo ra một cách hiệu quả.